序言
炉石概率论是一门研究炉石传说中不确定性的科学。创建于21世纪的炉石概率论发展至今，早已成为作为数学统计基础的概率论的一个重要分支。由于神抽狗协会、拖更茶等单位和个人的大力推广，炉石概率论得到了广泛的发展和传播，奥弹究竟打不打得死精灵龙这个标志性的猜想，更是乡村炉石玩家在酒馆茶余饭后的谈资。
本《炉石概率论简明入门》旨在使用鲜活的事例，以浅显易懂的方式普及炉石概率论，帮助各位乡村炉石玩家解决为什么存在神抽狗、为什么小德起手必有成长、为什么别人家的炸弹客等等炉石中的未解之谜。
由于编者水平有限，编写时间仓促，文中难免有疏漏之处，恳请同行专家们批评指正。
第一章
奥弹打死精灵龙——等价命题の胜利
让我们先看经典例题。
例1.1：在盗贼盛行的年代，很多年迈的术士都会带一张精灵龙稳定站场输出。
试求法师使用奥术飞弹，打死场上有且仅有生命值为2的对面的精灵龙的概率。
解1.1：这是一道非常基本的概率题，但是也是初学者非常容易犯错的地方。首先我们判断，当精灵龙和脸都在场上时，奥弹打脸和打精灵龙是等概率事件，而它们又满足归一化条件，所以两个事件的概率都是1/2.
那么打死精灵龙这件事存在两种可能：
1.前两发奥弹把精灵龙打死了。那么第三发奥弹就只能打脸了。所以其概率P1=1/2*(1/2)*1=1/4.
2.前两发奥弹伤1，第三发奥弹打到精灵龙。我们需要一发打脸，一发打精灵龙，一发打精灵龙。我们知道有可能第一发打到精灵龙，也有可能第二发打到精灵龙，而两者概率一样。所以其概率P2=2*(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/4.
1和2这两种可能是互斥的，而又包含了打死精灵龙的全部可能性，所以总的打死精灵龙的概率为P=P1+P2=1/2.
答：法师使用奥术飞弹，打死场上有且仅有生命值为2的精灵龙的概率是1/2.
大家可以看到，解1.1是正统的解决办法，所用方法是把所有可能性列出来，单独算出每个可能性的概率，再分析可能性之间的关系，最后算出总的概率。解1.1所用方法的缺陷在于对例1.2这种可能性较多的题目就比较麻烦，所用时间较长。
例1.2：(感谢提醒，已改正)荆棘谷猛虎拥有漂亮的身材、稳定站场抢先手的特性，使它成为竞技场的好卡。试求圣骑士使用法伤加1的复仇之怒打死对面场上有且仅有生命值为5的的荆棘谷猛虎的概率。
解1.2：我们可以发现，这一题使用解1.1的方法讨论情况较多，过程会比较复杂。对此我们可以使用等价命题的方法。什么是等价命题呢？假设有两个命题A和B，由A能推导出B，由B又能推导出A，那么A,B就是等价命题。那么很显然，我们只需要求例2的命题(将其命名为命题A)的等价命题的概率，就等于例1.2要求的概率。
定义命题B：圣骑士使用复仇之怒，打了场上有且仅有生命值无限的对面的史莱姆5点伤害以上(注1)。
//注1：在本书中，除非特殊说明，否则“以上”“以内”分别代表“大于或等于”“小于或等于”。
让我们来看看A和B是不是等价命题。打了史莱姆5点以上，也就是说如果把史莱姆换成老虎，那么老虎就会被打死。所以B——>A。打死了老虎，也就是说如果把老虎换成史莱姆，至少会打史莱姆5点伤害。而打死老虎后的飞弹枚数经过重新分配，可以打向史莱姆，也可以继续打脸，两者概率一样。所以A——>B。综上所述，A，B是等价命题。
那么命题B发生的概率P(B)是多少呢？我们知道，打脸和打史莱姆概率一样，所以打脸5点以上(等价于打史莱姆4点以下)和打史莱姆5点以上概率一样，而它们又满足归一化条件，所以两者的概率都是1/2。
于是我们有打死老虎的概率P(A)=P(B)=1/2。
//同理可得，奥弹打死精灵龙概率也是1/2。
答：圣骑士使用法伤加1的复仇之怒打死对面场上有且仅有生命值为5的的荆棘谷猛虎的概率1/2。
由例1.2可以看出，使用等价命题能够更加方便地解决这一类概率问题。合理的使用模型能够避开繁琐的讨论，快速掌握问题的实质。那么请做练习题。
练1.1：疯狂爆破者是一个观赏效果非常良好的卡牌，有的时候亦能够用它逆境翻盘。
试求战士使用疯狂爆破者的战吼效果打死场上有且仅有生命值为5的荆棘谷猛虎的概率。(答案见28楼)
第二章
神抽狗又遇神抽狗——不均等概率の陷阱
让我们先看经典例题。
例2.1：在2014暴雪嘉年华炉石传说项目的决赛中，神抽狗FIREBAT使用德鲁伊第一回合摸完牌以后必有野性成长，只能说神抽狗属性是城市炉石玩家的必备特征。
让我们假设以下场景：一个人带了两张野性成长，他在换牌的时候(注2)把不是野性成长的牌都换掉。那么试求其第一回合摸完牌以后至少有一张野性成长的概率。
注2：炉石的换牌满足以下特征：同一卡位不会换回之前叉掉的那张牌，但有可能换回同名同姓的牌或者其他卡位叉掉的牌。
解2.1：首先讨论先手的情况。由于归一化条件的存在，要算至少有一张野性成长的概率(命名其为命题A)，就只用算一张野性成长都没有(命名其为命题B)的概率，然后用1减去P(B)便可得出结果。为了方便讨论，我们可以把命题B分成三个部分：换牌前没有野性成长(B换牌前)，换牌后没有野性成长(B换牌后)，以及第一回合抽的一张不是野性成长(B第一回合抽的一张)。为了保证这三个部分是互相独立的，我们可以假设B换牌后发生在B换牌前的条件下，而B第一回合抽的一张发生在前两个都发生的条件下。
换牌前B发生的概率很好算，为P(B换牌前)=28*27*26/(30*29*28)。
然而在计算换牌后B发生的概率时，很多人会掉进陷阱，这是因为误把换牌后的各个情况当做等概率事件直接相加和所致。而实际上他们之间的概率并不相等。
为了理解这件事情，让我们假设三个换牌槽分别为X,Y和Z。假设换牌前的三张牌分别是X1，Y1和Z1，换牌后的三张牌分别是X2，Y2和Z2，而两张野性成长标记为K1和K2。我们求的是命题B(即没有野性成长)的概率，所以有X1!=Y1!=Z1!=K1!=K2(注2)。为了满足炉石换牌不换回原张的条件，我们有X2!=X1，Y2!=Y1，Z2!=Z1。
//注3：因为论坛无法正常显示，所以用“!=”表示不等于号。
于是我们有：当X2!=Y1的时候，P(Y2!=K1&Y2!=K2)=26/28
总数的28张是30张减去Y2!=Y1&Y2!=X2的两张，分子的26张是30张减去Y2!=Y1&Y2!=X2& Y2!=K1&Y2!=K2的4张
当X2=Y1的时候，P(Y2!=K1&Y2!=K2)=27/29，因为X2和Y1是同一张牌。
所以说算在算P(B换牌后)的时候，必须要分开讨论X2=Y1，X2=Z1，Y2=Z1这几个条件的组合，并不能直接相加。
于是我们可以讨论以下5种情况：
1：X2!=Y1&X2!=Z1，Y2!=Z1，概率为(25*25*25)/(29*28*27)
2：X2!=Y1&X2!=Z1，Y2=Z1，概率为(25*1*26)/(29*28*28)
3：X2=Y1，Y2!=Z1，概率为(1*26*25)/(29*29*27)
4：X2=Y1，Y2=Z1，概率为(1*1*26)/(29*29*28)
5：X2=Z1，概率为(1*26*26)/(29*28*28)
由于这5个事件互斥，在讨论后我们有P(B换牌后)=(25*25*25)/(29*28*27)+ (25*1*26)/(29*28*28)+ (1*26*25)/(29*29*27)+ (1*1*26)/(29*29*28)+ (1*26*26)/(29*28*28)。
显然P(B第一回合抽的一张)=25/27。
由于已经设定过三个事件互相独立，
所以P(B)=P(B换牌前)* P(B换牌后)* P(B第一回合抽的一张)=0.5983
于是我们知道P(A)=1-P(B)=40.17%
即先手全力换牌找成长能有的概率是40.17%。
后手的讨论相对比较复杂，在此只给出算式：
P(A)’=1-((28*27*26*25*24)/(30*29*28*27*26*29))*(24*((24*24*24)/(28*27*26)+(1*1*25)/(28*28*27)+(24*1*25)/(28*27*27)+(1*25*24)/(28*28*26)+(1*25*25)/(28*27*27))+1*((25*24*24)/(29*27*26)+(1*1*25)/(29*29*29)+(25*1*25)/(29*27*27)+(1*25*25)/(29*27*27)+(1*25*24)/(29*28*26))+1*((25*25*24)/(28*28*26)+(25*1*25)/(28*28*27)+(1*26*25)/(28*28*27))+1*((25*25*24)/(28*27*27)+(1*25*24)/(28*28*27)))=49.08%
即后手全力换牌找成长能有的概率是49.08%。
答：这个人第一回合摸完牌以后至少有一张野性成长的概率在先手是40.17%，后手是49.08%。
由例2.1可以看出，神抽狗并非浪得虚名，但乡村炉石玩家也需要拼搏的勇气。带两张起手能摸到的概率还是不小的。那么请做练习题。
练2.1：现在非常流行的机械法，有一部分会携带大法师安东达尼斯，美名其曰奇迹法。但是靠一张橙卡真的能翻盘吗？
让我们假设以下场景：一个人带了大法师安东达尼斯，他在换牌的时候把不是大法师的牌都换掉。不考虑过牌。那么试求其在10回合以内能摸到大法师的概率。(答案见P52)
第三章
环牧的悲哀——近似计算の入门
让我们先看思考题。
思3.1：环牧使用的奥金尼-环是低费非常有效的清场手段。但是这个COMBO究竟达成率有多高？让我们假设以下场景：一个人满编了奥金尼和环，他在换牌的时候把不是奥金尼也不是环的牌都换掉。如果同时出现两张奥金尼或者两张环那么他也会换掉其中一张。不考虑过牌。那么试求其在第4回合的时候能攒齐奥金尼-环这个COMBO的概率。
引子：这一题非常复杂，难以全部讨论并求出精确的值。但我们可以使用一些近似条件，舍弃一些微小量，而求出一个近似的值。
炉石概率论是一门研究炉石传说中不确定性的科学。创建于21世纪的炉石概率论发展至今，早已成为作为数学统计基础的概率论的一个重要分支。由于神抽狗协会、拖更茶等单位和个人的大力推广，炉石概率论得到了广泛的发展和传播，奥弹究竟打不打得死精灵龙这个标志性的猜想，更是乡村炉石玩家在酒馆茶余饭后的谈资。
本《炉石概率论简明入门》旨在使用鲜活的事例，以浅显易懂的方式普及炉石概率论，帮助各位乡村炉石玩家解决为什么存在神抽狗、为什么小德起手必有成长、为什么别人家的炸弹客等等炉石中的未解之谜。
由于编者水平有限，编写时间仓促，文中难免有疏漏之处，恳请同行专家们批评指正。
第一章
奥弹打死精灵龙——等价命题の胜利
让我们先看经典例题。
例1.1：在盗贼盛行的年代，很多年迈的术士都会带一张精灵龙稳定站场输出。
试求法师使用奥术飞弹，打死场上有且仅有生命值为2的对面的精灵龙的概率。
解1.1：这是一道非常基本的概率题，但是也是初学者非常容易犯错的地方。首先我们判断，当精灵龙和脸都在场上时，奥弹打脸和打精灵龙是等概率事件，而它们又满足归一化条件，所以两个事件的概率都是1/2.
那么打死精灵龙这件事存在两种可能：
1.前两发奥弹把精灵龙打死了。那么第三发奥弹就只能打脸了。所以其概率P1=1/2*(1/2)*1=1/4.
2.前两发奥弹伤1，第三发奥弹打到精灵龙。我们需要一发打脸，一发打精灵龙，一发打精灵龙。我们知道有可能第一发打到精灵龙，也有可能第二发打到精灵龙，而两者概率一样。所以其概率P2=2*(1/2)*(1/2)*(1/2)=1/4.
1和2这两种可能是互斥的，而又包含了打死精灵龙的全部可能性，所以总的打死精灵龙的概率为P=P1+P2=1/2.
答：法师使用奥术飞弹，打死场上有且仅有生命值为2的精灵龙的概率是1/2.
大家可以看到，解1.1是正统的解决办法，所用方法是把所有可能性列出来，单独算出每个可能性的概率，再分析可能性之间的关系，最后算出总的概率。解1.1所用方法的缺陷在于对例1.2这种可能性较多的题目就比较麻烦，所用时间较长。
例1.2：(感谢提醒，已改正)荆棘谷猛虎拥有漂亮的身材、稳定站场抢先手的特性，使它成为竞技场的好卡。试求圣骑士使用法伤加1的复仇之怒打死对面场上有且仅有生命值为5的的荆棘谷猛虎的概率。
解1.2：我们可以发现，这一题使用解1.1的方法讨论情况较多，过程会比较复杂。对此我们可以使用等价命题的方法。什么是等价命题呢？假设有两个命题A和B，由A能推导出B，由B又能推导出A，那么A,B就是等价命题。那么很显然，我们只需要求例2的命题(将其命名为命题A)的等价命题的概率，就等于例1.2要求的概率。
定义命题B：圣骑士使用复仇之怒，打了场上有且仅有生命值无限的对面的史莱姆5点伤害以上(注1)。
//注1：在本书中，除非特殊说明，否则“以上”“以内”分别代表“大于或等于”“小于或等于”。
让我们来看看A和B是不是等价命题。打了史莱姆5点以上，也就是说如果把史莱姆换成老虎，那么老虎就会被打死。所以B——>A。打死了老虎，也就是说如果把老虎换成史莱姆，至少会打史莱姆5点伤害。而打死老虎后的飞弹枚数经过重新分配，可以打向史莱姆，也可以继续打脸，两者概率一样。所以A——>B。综上所述，A，B是等价命题。
那么命题B发生的概率P(B)是多少呢？我们知道，打脸和打史莱姆概率一样，所以打脸5点以上(等价于打史莱姆4点以下)和打史莱姆5点以上概率一样，而它们又满足归一化条件，所以两者的概率都是1/2。
于是我们有打死老虎的概率P(A)=P(B)=1/2。
//同理可得，奥弹打死精灵龙概率也是1/2。
答：圣骑士使用法伤加1的复仇之怒打死对面场上有且仅有生命值为5的的荆棘谷猛虎的概率1/2。
由例1.2可以看出，使用等价命题能够更加方便地解决这一类概率问题。合理的使用模型能够避开繁琐的讨论，快速掌握问题的实质。那么请做练习题。
练1.1：疯狂爆破者是一个观赏效果非常良好的卡牌，有的时候亦能够用它逆境翻盘。
试求战士使用疯狂爆破者的战吼效果打死场上有且仅有生命值为5的荆棘谷猛虎的概率。(答案见28楼)
第二章
神抽狗又遇神抽狗——不均等概率の陷阱
让我们先看经典例题。
例2.1：在2014暴雪嘉年华炉石传说项目的决赛中，神抽狗FIREBAT使用德鲁伊第一回合摸完牌以后必有野性成长，只能说神抽狗属性是城市炉石玩家的必备特征。
让我们假设以下场景：一个人带了两张野性成长，他在换牌的时候(注2)把不是野性成长的牌都换掉。那么试求其第一回合摸完牌以后至少有一张野性成长的概率。
注2：炉石的换牌满足以下特征：同一卡位不会换回之前叉掉的那张牌，但有可能换回同名同姓的牌或者其他卡位叉掉的牌。
解2.1：首先讨论先手的情况。由于归一化条件的存在，要算至少有一张野性成长的概率(命名其为命题A)，就只用算一张野性成长都没有(命名其为命题B)的概率，然后用1减去P(B)便可得出结果。为了方便讨论，我们可以把命题B分成三个部分：换牌前没有野性成长(B换牌前)，换牌后没有野性成长(B换牌后)，以及第一回合抽的一张不是野性成长(B第一回合抽的一张)。为了保证这三个部分是互相独立的，我们可以假设B换牌后发生在B换牌前的条件下，而B第一回合抽的一张发生在前两个都发生的条件下。
换牌前B发生的概率很好算，为P(B换牌前)=28*27*26/(30*29*28)。
然而在计算换牌后B发生的概率时，很多人会掉进陷阱，这是因为误把换牌后的各个情况当做等概率事件直接相加和所致。而实际上他们之间的概率并不相等。
为了理解这件事情，让我们假设三个换牌槽分别为X,Y和Z。假设换牌前的三张牌分别是X1，Y1和Z1，换牌后的三张牌分别是X2，Y2和Z2，而两张野性成长标记为K1和K2。我们求的是命题B(即没有野性成长)的概率，所以有X1!=Y1!=Z1!=K1!=K2(注2)。为了满足炉石换牌不换回原张的条件，我们有X2!=X1，Y2!=Y1，Z2!=Z1。
//注3：因为论坛无法正常显示，所以用“!=”表示不等于号。
于是我们有：当X2!=Y1的时候，P(Y2!=K1&Y2!=K2)=26/28
总数的28张是30张减去Y2!=Y1&Y2!=X2的两张，分子的26张是30张减去Y2!=Y1&Y2!=X2& Y2!=K1&Y2!=K2的4张
当X2=Y1的时候，P(Y2!=K1&Y2!=K2)=27/29，因为X2和Y1是同一张牌。
所以说算在算P(B换牌后)的时候，必须要分开讨论X2=Y1，X2=Z1，Y2=Z1这几个条件的组合，并不能直接相加。
于是我们可以讨论以下5种情况：
1：X2!=Y1&X2!=Z1，Y2!=Z1，概率为(25*25*25)/(29*28*27)
2：X2!=Y1&X2!=Z1，Y2=Z1，概率为(25*1*26)/(29*28*28)
3：X2=Y1，Y2!=Z1，概率为(1*26*25)/(29*29*27)
4：X2=Y1，Y2=Z1，概率为(1*1*26)/(29*29*28)
5：X2=Z1，概率为(1*26*26)/(29*28*28)
由于这5个事件互斥，在讨论后我们有P(B换牌后)=(25*25*25)/(29*28*27)+ (25*1*26)/(29*28*28)+ (1*26*25)/(29*29*27)+ (1*1*26)/(29*29*28)+ (1*26*26)/(29*28*28)。
显然P(B第一回合抽的一张)=25/27。
由于已经设定过三个事件互相独立，
所以P(B)=P(B换牌前)* P(B换牌后)* P(B第一回合抽的一张)=0.5983
于是我们知道P(A)=1-P(B)=40.17%
即先手全力换牌找成长能有的概率是40.17%。
后手的讨论相对比较复杂，在此只给出算式：
P(A)’=1-((28*27*26*25*24)/(30*29*28*27*26*29))*(24*((24*24*24)/(28*27*26)+(1*1*25)/(28*28*27)+(24*1*25)/(28*27*27)+(1*25*24)/(28*28*26)+(1*25*25)/(28*27*27))+1*((25*24*24)/(29*27*26)+(1*1*25)/(29*29*29)+(25*1*25)/(29*27*27)+(1*25*25)/(29*27*27)+(1*25*24)/(29*28*26))+1*((25*25*24)/(28*28*26)+(25*1*25)/(28*28*27)+(1*26*25)/(28*28*27))+1*((25*25*24)/(28*27*27)+(1*25*24)/(28*28*27)))=49.08%
即后手全力换牌找成长能有的概率是49.08%。
答：这个人第一回合摸完牌以后至少有一张野性成长的概率在先手是40.17%，后手是49.08%。
由例2.1可以看出，神抽狗并非浪得虚名，但乡村炉石玩家也需要拼搏的勇气。带两张起手能摸到的概率还是不小的。那么请做练习题。
练2.1：现在非常流行的机械法，有一部分会携带大法师安东达尼斯，美名其曰奇迹法。但是靠一张橙卡真的能翻盘吗？
让我们假设以下场景：一个人带了大法师安东达尼斯，他在换牌的时候把不是大法师的牌都换掉。不考虑过牌。那么试求其在10回合以内能摸到大法师的概率。(答案见P52)
第三章
环牧的悲哀——近似计算の入门
让我们先看思考题。
思3.1：环牧使用的奥金尼-环是低费非常有效的清场手段。但是这个COMBO究竟达成率有多高？让我们假设以下场景：一个人满编了奥金尼和环，他在换牌的时候把不是奥金尼也不是环的牌都换掉。如果同时出现两张奥金尼或者两张环那么他也会换掉其中一张。不考虑过牌。那么试求其在第4回合的时候能攒齐奥金尼-环这个COMBO的概率。
引子：这一题非常复杂，难以全部讨论并求出精确的值。但我们可以使用一些近似条件，舍弃一些微小量，而求出一个近似的值。
19游戏网整理报道
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